91

Für 7 gilt ja die Regel: Verschiebe eine Ziffer nach rechts und multipliziere sie mit 3. Dieses Verfahren ist aber noch nicht sehr optimal. Man könnte die Ziffer statt gleich zu addieren, noch einmal nach rechts verschieben. Dann ergibt sich die folgende Regel:

Verschiebe die Ziffer zweimal nach rechts und multipliziere sie mit 9. 9 ist aber gleich 10 − 1, was zur endgültigen Regel führt:

Verschiebe die Ziffer nach rechts und addiere sie dort, verschiebe sie noch einmal nach rechts und subtrahiere sie.

Ähnliches gibt für die Zahl 13. Dort gilt die Regel, daß man eine Ziffer nach rechts verschiebt und mit −3 multipliziert. Verschiebt man die Ziffer ein zweites mal, wo multipliziert man mit 9, also dasselbe wie bei 7.

Diese Überlegungen führen zur Zahl 91. Für diese Zahl gilt ja die Gleichung

100 − 10 + 1 = 91,

was genau zur obigen Regel führt. Für 91 gilt auch:

91 = 7 * 13

91 ist also ein Vielfaches sowohl von 7, als auch von 13.

Diese Überlegungen sollen jetzt demonstriert werden.

Demo

Als Ausgangspunkt wird wiederum unsere Zahl 12345 genommen.

• Die erste Ziffer ist 1, was zu 2 dazugezählt und von 3 abgezogen wird. Dies ergibt dann die Zahl 3245.
• Die erste Ziffer ist jetzt eine 3, zu 2 dazugezählt ergibt 5 und von 4 abgezogen ergibt 1, also insgesamt die Zahl 515.
• Jetzt ist die oberste Ziffer eine 5, zu 1 dazugezählt ergibt 6 und von 5 abgezogen ergibt 0, also die Zahl 60. 60 ist zumindest der Divisionsrest von 12345 durch 91.

Das Verfahren kann nicht mehr weiter durchgeführt werden, da man dazu eine mindestens dreistellige Zahl benötigt.

Es besteht keine Gefahr, daß die Zahl insgesamt negativ wird, weil die Ziffer an der höherwertigen Stelle addiert wird. Ist die abzuziehende Ziffer größer als die vorhandene, wird eine normale Subtraktion durchgeführt.

Man muß jetzt auf die ursprünglichen Verfahren zurückgreifen, um die Divisionsreste durch 7 und 13 zu ermitteln.

Division durch 7

• Die erste Ziffer von 60 ist 6, multipliziert mit 3 ergibt 18.
• 1 mal 3 ergibt 3, zu 8 addiert ergibt 11.
• 1 mal 3 plus 1 ergibt den Divisionsrest 4.

Division durch 13

• Die erste Ziffer von 60 ist 6, multipliziert mit −3 ergibt −18.
• −1 mal −3 ergibt 3 plut −8 ergibt −5. Addiert man 13, erhält man 8 als Ergebnis.