81

Als nächstes soll die Zahl 81 betrachtet werden. Diese Zahl ist ebenfalls eine Potenz von 3.

Für 81 gilt die Gleichung

90 − 81 = 9

Daraus läßt sich folgende Regel erstellen:

Nehme eine durch 9 teilbare Ziffer (oder Zahl) und verschiebe sie nach rechts.

Hier heben sich ebenfalls die Division durch 9 und die Multiplikation mit 9 auf. Da mit 9 aber mit größeren Zahlen zu rechnen sind und die Vielfachen vielleicht nicht gleich zu sehen sind, soll nach einer weiteren Regel gesucht werden.

Es gilt auch die Gleichung

100 − 81 = 19 = 20 − 1

Dies führt zu folgender Regel:

Verschiebe nach rechts und multipliziere mit 2, verschiebe noch einmal nach rechts und multipliziere mit −1

Die Regeln sollen wieder demonstriert werden

Demo mit der ersten Regel

Es soll also der Divisionsrest von 12345 durch 81 ermittelt werden.

• 1 ist kleiner als 9, also werden die ersten zwei Ziffern genommen. 12 = 9 + 3. 12345 wird in der Form 9000 + 3345 geschrieben.
• 9 wird nach rechts verschoben und zur 3 (die Hunderter-Stelle) addiert, was die Zahl 4245 ergibt (33 + 9 = 42).
• Die Zahl wird jetzt in der Form 3600 + 645 geschrieben. 36 nach rechts verschoben und zu 63 addiert ergibt die Zahl 1005.
• Wir schreiben die Zahl in 900 + 105 um. 9 nach rechts verschoben und zur 0 addiert ergibt die Zahl 195.
• Wir schreiben die Zahl in der Form 180 + 15. 18 nach rechts verschoben und zu 15 addiert ergibt die Zahl 33. Wir haben den Divisionrest erhalten.

Bei diesem Verfahren hat man meist zweistellige Zahlen, die addiert werden müssen. Im Kopf ist dies ein wenig schwieriger durchzuführen.

Demo mit der zweiten Regel

Dieses Mal soll der Divisionsrest von 12345 durch 81 mit der zweiten Regel ermittelt werden.

• 1 nach rechts verschoben, mit 2 multipliziert und zur 2 addiert, dann noch einmal nach rechts verschoben und von der 3 addiert, ergibt die Zahl 4245. (Beim zweiten Verschieben muß man wieder die 1 nehmen!)
• 4 nach rechts verschoben, mit 2 multipliziert ergibt 8, zur 2 addiert, dann noch einmal nach rechts verschoben und von der 4 subtrahiert ergibt 1005.
• 1 nach rechts verschoben, mit 2 multipliziert und zur 0 addiert, dann noch einmal nach rechts verschoben und von der 0 subtrahiert ergibt die Zahl 195. (200 - 10 + 5)
• 1 nach rechts verschoben, mit 2 multipliziert und zur 9 addiert, noch einmal nach rechts verschoben und von 5 addiert ergibt die Zahl 114.
• 1 nach rechts verschoben, mit 2 multipliziert und zur 1 addiert, noch einmal nach rechts verschoben und von 4 subtrahiert ergibt die Zahl 33. Wir haben wieder den Divisionsrest ermittelt.

Mit dem zweiten Verfahren hat man fast immer dieselben Zwischenzahlen wie zuvor bekommen, dieses Verfahren ist aber einfacher im Kopf durchführbar.